Bezierkurver

Bernsteinpolynomene som danner en basis for bezierkurver, fra kapittel 4.4.1 i Blendingsteknikker i kurve- og flatekonstruksjoner

En bezierkurve er uttrykt med følgende formel: \( C(t) = \displaystyle\sum_{i=0}^{d} b_{d,i}(t)\ c_i \), hvor \(d\) er polynomgraden, og hvor \(c_i\) er \(d+1\) kontrollpunkt og \(b_{d,i}(t)\) er \(d+1\) skalare bernsteinpolynomer/basisfunksjoner. I figuren over er et sett med bernsteinpolynomer/basisfunksjoner plottet. Legg merke til at parameterdomenet er \([0,\ 1]\). I figuren under har vi ett sett med \(d+1\) kontrollpunkt \(p_i,\ i=0,1,...,d\) som er markert med grå femkanter. Mellom punktene er det plottet tynne svarte linjestykker. Disse linjestykkene danner tilsammen et kontrollpolygon.

I menyen oppe til høyre kan du bestemme graden \(d\).

I figuren under kan du flytte på kontrollpuktene med å trykke venstre musknapp når markøren er over en av de grå femkantene som representerer et kontrollpunkt. Femkanten flyttes så lenge du holder knappen nede. Når du slepper knappen låses femkanten og kurven oppdateres.

\( C(t) = \begin{bmatrix}1- t & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1- t & t & 0 \\ 0 & 1- t & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1- t & t & 0 & 0 \\ 0 & 1- t & t & 0 \\ 0 & 0 & 1- t & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix}\), når \(t \in[0, 1]\), se kapittel 4.4.2 i boka. Hvis vi ønsker å øke graden legger vi bare til en ny matrise til høyre foran kontrollpunktene.

Matriseformelen over kan skrives mere kompakt som \( C(t) = T^3(t)\ \mathbf{c} \), og vi kan beregne 1.derverte på vanlig måte, dvs. med kjerneregelen: \( C'(t) = 3\ T^2(t)\ T' \mathbf{c} \). På matriseform blir det:

\( C'(t) = 3 \begin{bmatrix}1- t & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1- t & t & 0 \\ 0 & 1- t & t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix}\), når \(t \in[0, 1]\), se uttrykket 4.36 i boka, som også viser formlene for alle deriverte.

Hvis vi ganger ut de 3 matrisene i matriseformelen til Bezierkurven får vi 4 Bernsteinpolynomer av grad 3: \((1-t)^3\), \( 3t(1-t)^2\), \(3t^2(1-t)\) og \(t^3\). Satt opp på en annen matriseform er bernsteinpolynomene: \( \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & -1\\ 0 & 3 & -6 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ t\\ t^2 \\ t^3 \end{bmatrix} \). Matrisen i uttrykket er da basiskiftematrisen fra en monominal 3.grads basis til en Bezierbasis, dvs. bernsteinploynomene av grad 3. Se tabell 4.1 i blendingsboka.