Blendingsplines



              
Kopi av figur 8.4 i boka Blendingsteknikker i kurve- og flatekonstruksjoner.  Til venstre vises basiser til en  B-splinekurve av grad 1, som så til høyre blir til basiser med B-funksjoner. I figuren er \(b_{k-2}(t) = w_{1,k-2}(t)\)  når  \(t\in [t_{k-2},  t_{k-1}) \)  og  \(b_{k}(t) = B\circ w_{1,k}(t)\)  når  \(t\in [t_{k},  t_{k+1}) \).  \(w_{d,i}(t) = \frac{t-t_i}{t_{i+d} - t_i}\).

En blendingsplinekurve er en 2. ordens B-splinekurve med formelen:  \( C(t) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} c_i(t)\ B \circ w_{1,i}(t),\ \ \)  hvor vi har \(n\) kontrollcurver \(c_i(t)\) og \(n\) skalare basisfunksjoner \(B \circ w_{d,i}(t)\). I figuren over er et sett med basisfunksjoner plottet, til venstre ordinære 2. ordens B-splines \(b_i(t) = w_{1,i}(t)\) , og til høyre er de endret med B-funksjoner til  \(b_i(t) = B \circ w_{1,i}(t)\). Se kapittel 8.2 i boka.
I figurene under vises blendingsplinekurver. Til venstre ser vi en kurve som er en blending av 4 lokale kurver. Til høyre er den samme kurven endret da tre av de lokale kurvene er flytte og to av dem er også rotert.
     
Figurene er hentet fra figur 8.6 og figur 8.7 i boka

Klikker du på figurene får du opp en blendingsplines hvor du kan gjøre endringer grafisk.

Når du klikker på figurene får du en grafisk editor for å lage og endre kurver av typen blendingsplines. Brukergrensesnittet er en meny øverst til høyre samt bruk av mus på følgende måte:

B-funksjoner brukes for blending. Fire førsteordens B-funksjoner  er plottet, samt deres deriverte (striplet rødt).
Vi har:    a) \(B(t)=t\),   b) \(B(t)=\frac{1}{2}- \frac{1}{2}\cos \pi t \),   c) \(B(t)=3t^2-2t^3\) og d) \(B(t)=\frac{t^2}{(1-t)^2 + t^2}\).
Plottene er fra figur 7.1. B-funksjoner er omtalt i kapittel 7 i boka

Blendingspline-formelen er:   \( c(t) =  ( 1-B\circ w_{1,i}(t)  \quad  B\circ w_{1,i}(t) )  \begin{pmatrix} c_{i-1}(t) \\ c_{i}(t) \end{pmatrix}  \),  når  \(t \in [t_i, t_{i+1})\).    Se uttrykk (8.7) side 152, kapittel 8 i boka.